A passion for math and math education

.
Koen De Naeghel

Wistjedatjes

MathJax TeX Test Page

Top 1000 op de radio

Wist je dat minstens 166 834 luisteraars hun top drie moeten doorsturen om een top 1000 op de radio ondubbelzinnig vast te leggen? Het kleinste aantal stemmen vinden we door aan te nemen dat nummer 1000 precies één stem kreeg, nummer 999 precies twee stemmen kreeg enzovoort tot ten slotte nummer 1 precies 1000 stemmen kreeg. Het totaal aantal stemmen is dan gelijk aan de som 1+2+3+...+1000 = 1000.1001/2 = 500 500. Dat aantal is ook gelijk aan het aantal mensen die gestemd hebben vermenigvuldigd met drie, het aantal stemmen per persoon. Zo vinden we dat het aantal luisteraars die gestemd hebben minstens gelijk is aan 500 500/3 = 166 833,33...

Elk jaar stelt Radio Nostalgie op die manier een top 1000 samen. Nu heeft die radio een marktaandeel van ongeveer 6% van het totaal aantal Vlamingen, zodat op er op een gemiddelde dag zo'n 363 000 verschillende luisteraars zijn. Om die top 1000 ondubbelzinnig vast te leggen, moesten dus minstens 46% van de luisteraars van Nostalgie hun stem uitbrengen.

De hypothese dat opeenvolgende nummers in de top 1000 precies één stem verschillen, is niet erg aannemelijk. De realiteit zal beter weerspiegeld worden door bijvoorbeeld aan te nemen dat nummer 1000 precies één stem kreeg, nummer 999 precies drie stemmen kreeg, nummer 998 precies vijf stemmen kreeg enzovoort tot ten slotte nummer 1 precies 1999 stemmen kreeg. In dat geval vinden we dat het aantal luisteraars die gestemd hebben minstens gelijk is aan 1 000 000/3 = 333 333,33... Dat zou erop neerkomen dat zo'n 92% van de luisteraars van Nostalgie hun stem uitbrachten.

Deze redenering maakt het nogal twijfelachtig dat de radioluisteraars hun top 1000 echt zelf ondubbelzinnig hebben vastgelegd. Misschien mochten sommige luisteraars toch meer dan één keer stemmen? Of hebben de makers van het programma dan toch een aandeel in de volgorde van deze top 1000 gehad? Hoewel ik radio Nostalgie een erg fijne zender vindt, denk ik dat we grote hitlijsten (op eender welke zender) met een korrel zout moeten nemen...

Vrijdag de 13e

Wist je dat de 13e dag van een maand meestal op een vrijdag valt? Het volstaat om een frequentietabel voor een periode van 400 jaar te maken, want (1) elke 400 jaar herhaalt de berekening van de schrikkeljaren zich en (2) in 400 jaar gaan er een geheel aantal weken, want 400 jaar = 146 067 dagen en dat getal is een veelvoud van 7. Klik hier om die frequentietabel te zien. De data in deze tabel kunnen verkregen worden door de zogenaamde kalenderformule van Gauss toe te passen. Dit wistjedatje komt uit J. Havil, Nonplussed! Mathematical proof of implausible ideas, Princeton University Press, 2007. De Gregoriaanse kalender werd ingevoerd op 15 oktober 1582, wat toen vastgelegd werd op een vrijdag. Een leuke, correcte bedenking kreeg ik van Luc Van den Broeck: had Paus Gregorius XIII (jawel, de dertiende!) die datum 15 oktober 1582 vastgelegd op een zaterdag in plaats van een vrijdag, dan zou de 13e van de maand meestal op een zaterdag vallen!

De oppervlakte van een land

Wist je dat de oppervlakte van Afrika groter is dan die van de Verenigde Staten, China en India samen? Klik op de figuur hiernaast om zelf de grootte van eender welk land te vergelijken met dat van een ander land. Lees het volledige arikel Zo fout is een traditionele wereldkaart in De Morgen.











De parkeerconstante van Rényi

Als auto's langs een weg parkeren dan blijft er natuurlijk nog wat tussenruimte over die niet benut kan worden. Stel voor de eenvoud dat alle auto's even lang zijn, dat de bestuurders at random parkeren en in elke tussenruimte kunnen parkeren die groter of gelijk is aan de lengte van een auto. Als de parkeerstrook volzet is, hoeveel procent wordt dan gemiddeld benut?

In 1958 vond Alfréd Rényi het antwoord: $74,75979202..%$.

Hieronder vind je een simulatie. Mocht je dit een groot aantal keren uitvoeren, dan zul je de parkeerconstante van Rényi benaderen. De exacte, wiskundige berekening vind je hier.