A passion for math and math education

.
Koen De Naeghel

Data voor optimale slaagkans bij giscorrectie

Nota

Het aftrekken van punten bij een foutief antwoord staat bij studenten bekend onder de term giscorrectie. In onderstaande nota verklaren we de meest rechtvaardige toepassing van giscorrectie. Daarnaast geven we voor zo'n test aan hoeveel vragen een student het best kan 'gokken' teneinde zijn slaagkans te optimaliseren. Deze tekst heeft geenszins de intentie de student aan te zetten tot `gokken', maar wel om student en evaluator bewust te maken van (1) de correcte toepassing van giscorrectie en (2) een optimaal aantal gegokte vragen.
K. De Naeghel, Giscorrectie en optimaliseren van slaagkansen, Uitwiskeling 30 (2014), 2-7. Creative Commons Licentie

Data en programma in Maple

In bovenstaand artikel verwijzen we naar data voor een meerkeuzetoets met hoogstens 50 vragen, waarbij elke vraag N alternatieven heeft, met N < 6. Die data vind je hier terug:
Data voor optimale slaagkans bij giscorrectie
In bovenstaande nota verwijzen we ook naar een programma geschreven in computerrekenpakket Maple, die onze conclusie heeft geverifieerd voor een meerkeuzetoets met hoogstens 500 vragen, waarbij elke vraag N < 6 alternatieven heeft. De totale computertijd nodig om deze controle uit te voeren bedroeg ongeveer 125 uren. Daarnaast kan het programma eenvoudig slaagkansen berekenen voor een gegeven aantal vragen n, alternatieven N en aantal vragen w < n/2 waarop de student het antwoord op weet. Dat vind je hier terug:
maple worksheet giscorrectiemaple.mws

Hoe patronen in data gevonden werden

Bij het beschrijven van de optimale slaagkansen gingen we op zoek naar patronen in de data. Concreet gingen we voor een aantal vragen n < 501, elk met 1 < N < 6 alternatieven en w < ceil(n/2) gekende vragen op zoek naar de waarde van b waarvoor de slaagkans bij het invullen van de w gekende vragen, b blanco vragen en n - w - b gegokte vragen optimaal is. We deden twee observaties:
  • In een generiek geval is b = floor(n/2) mod N. Dit is het geval voor
    • N = 2
    • N = 3 en n mod 6 < 5
    • N = 4 en n mod 8 < 6
    • N = 5 en n mod 10 < 6
  • In de overige gevallen vonden we telkens een bovengrens W waarvoor b = 0 voor w <= W en b = floor(n/2) mod N voor w > W.
Deze bovengrenzen W hangen af van het aantal vragen n en het aantal alternatieven per vraag N. Voor n < 501 en N < 6 werden deze waarden voor W berekend met behulp van een programma in Maple. Bij wijze van voorbeeld geven we de bovengrenzen W voor N = 4, n < 686 en n mod 8 = 6. De derde rij is de verschilrij van deze waarden van W uit de tweede rij.

n    .       .      .        .       6      14    22   30   38   46   54   62   70   78   86   94  102 110 118
W_i                       2   4   7  10  13  15  18  21  24  27  29  32  35  38  41 
W_(i+1) -  W_i                       2   3   3   3   2   3   3   3   3   2   3   3   3   3   2

n 126 134 142 150 158 166 174 182 190 198 206 214 222 230 238 246 254 262 270
W_i  43  46  49  52  54  57  60  63  66  68  71  74  77  80  82  85  88  91  94 
W_(i+1) - W_i   3   3   3   2   3   3   3   3   2   3   3   3   3   2   3   3   3   3   2

n 278 286 294 302 310 318 326 334 342 350 358 366 374 382 390 398 406 414 422
W_i  96  99 102 105 107 110 113 116 119 121 124 127 130 133 135 138 141 144 147
W_(i+1) - W_i   3   3   3   2   3   3   3   3   2   3   3   3   3   2   3   3   3   3   2

n 430 438 446 454 462 470 478 486 494 502 510 518 526 534 542 550 558 566 574
W_i 149 152 155 158 160 163 166 169 172 174 177 180 183 186 188 191 194 197 200
W_(i+1) - W_i   3   3   3   2   3   3   3   3   2   3   3   3   3   2   3   3   3   3   2

n 582 590 598 606 614 622 630 638 646 654 662 670 678
W_i 202 205 208 211 213 216 219 222 225 227 230 233 236
W_(i+1) - W_i   3   3   3   2   3   3   3   3   2   3   3   3

We observeren dat de verschilrij een periodiciteit vertoont. Meer bepaald, de verschilrij voor n in [118,270] komt overeen met de verschilrij in [270,422] en de verschilrij in [422,574]. Deze periodiciteit zet zich door voor alle andere waarden van n tussen 6 en 678, behalve voor n = 6. Dat laatste beschouwen we als een uitzondering.

Om een formule voor W in functie van n te vinden, drukken we uit dat (n,W) = (118,41) correspondeert met (n,W) = (270,94). Dit doen we als volgt: voor n = 118 + k*152 is W = 41 + k*53. Voorlopig is dit enkel waar voor k = 0,1,2,3. Elimineren we de parameter k, dan bekomen we k = (n-118)/152, en dit geeft de formule W = (53*n-22)/152, voorlopig enkel waar voor n = 118, n=270, n=422 en n=574. Maar gelet op de periodiciteit van hierboven is deze formule W = (53*n-22)/152 wel een goeie kandidaat om W te beschrijven. Eventueel moeten we wel afronden naar een gehele waarde. En inderdaad, de formule W = floor((53*n-22)/152) beschrijft de tabel voor alle waarden van n < 686.

Rest nog de vraag waarom we (n,W)=(118,41) vergelijken met (n,W) = (270,94), en niet pakweg (n,W)=(14,4) vergelijken met (n,W) = (166,57). In dat laatste geval zouden we de formule W = floor((53*n-134)/152) bekomen, die na controle al fout blijkt te zijn bij n = 22 (deze formule geeft W = 6, terwijl de werkelijke waarde 7 is). In feite werd een associatie van (n,W) met (n+152,W+53) gekozen zodat bij de resulterende formule W = floor((53*n-A)/152) de waarde voor A minimaal is. Met andere woorden, we gaan op zoek naar het paar (n,W) waarvoor 53*n-152*W minimaal is. En dat is precies het geval bij (n,W) = (118,41) of  (n,W) = (270,94) of  (n,W) = (422,147)  etc.. De minimale waarde voor A is dan 22.  
U bent bezoeker