A passion for math and math education

.
Koen De Naeghel

Deel IV Complexe getallen (Hoofdstukken 1 en 2)

  • Cursustekst. Voegen we aan de verzameling van de reŽle getallen een denkbeeldige, niet reŽle oplossing i van de vergelijking x^2+1 = 0 toe, dan verkrijgen we de zogenaamde complexe getallen. Deze getallen zijn op te vatten als punten in het vlak, waardoor hun meest voor de hand liggende schrijfwijze cartesische vorm wordt genoemd. De bewerkingen met complexe getallen kunnen uitgevoerd worden volgens voor de hand liggende rekenregels, waarbij elke i^2 vervangen wordt door -1.

    Hoewel heel wat eigenschappen van de reŽle getallen ook voor de complexe getallen gelden, blijken er ook fundamentele verschillen te zijn. Zo is de traditionele relatie is kleiner dan of gelijk aan zinloos voor de complexe getallen. Anderzijds heeft elk complex getal dat verschillend is van nul twee verschillende complexe vierkantswortels, in tegenstelling tot het asymmetrische gevalsonderscheid bij de reŽle getallen.

    Som en verschil van complexe getallen in cartesische vorm zijn eenvoudig uit te drukken. Voor product en quotiŽnt ligt dat moeilijker, zodat ook wat moeite moet gedaan worden om het kwadraat en een vierkantswortel van een complex getal in cartesische vorm te schrijven. In het algemeen zijn de formules voor machten en machtswortels van complexe getallen in cartesische vorm erg ingewikkeld.

    Om hieraan tegemoet te komen, worden in het tweede hoofdstuk complexe getallen op een andere manier voorgesteld. In plaats van een punt vast te leggen met zijn cartesische coŲrdinaten, gebruiken we zogenaamde poolcoŲrdinaten. Dat zal leiden tot het schrijven van complexe getallen in polaire vorm (of goniometrische gedaante) en, na het toepassen van zogenaamde reeksontwikkeling, Euler-vorm (of exponentiŽle gedaante). Waar product, quotiŽnt, machten en machtswortels moeilijk uitdrukbaar waren in cartesische vorm, blijken deze bewerkingen nu eenvoudig te schrijven zijn in termen van polaire vorm en Euler-vorm.

    Met deze nieuwe schrijfwijze wordt duidelijk dat het vermenigvuldigen van complexe getallen in zekere zin overeenkomt met het optellen van hoeken. Op die manier geven complexe getallen ons ook nieuwe inzichten over de vertrouwde reŽle getallen. Zo kan het resultaat dat elk strikt positief reŽel getal twee verschillende vierkantswortels heeft verklaard worden door het feit dat elke georiŽnteerde hoek twee verschillende helften heeft.

    Download PDF op deze pagina

    Copyright © 2019 K. De Naeghel