A passion for math and math education

.
Koen De Naeghel

Deel XI Integralen (Hoofdstukken 1, 2 en 3)

  • Cursustekst. Deel integralen start met de vraag om, gegeven de grafiek van een functie f(x), de (georiŽnteerde) oppervlakte onder die grafiek te bepalen, tussen grenzen a en b. Deze waarde noemt men de bepaalde integraal van f tussen a en b. Aan deze vraag koppelen we het begrip oppervlaktefunctie A(t): intuÔtief trekt men een gordijn onder de grafiek van f dicht, en beschouwt men het verband dat op elk tijdstip t de oppervlakte van het gesloten gedeelte associeert. De eerste hoofdstelling van de integraalrekening vertelt ons: A'(t) = f(t) i.e. de afgeleide van die oppervlaktefunctie niets anders dan de oorspronkelijke functie f. Dit leidt tot een manier om de bepaalde integraal van f tussen a en b te berekenen. Hiervoor hoeft men zelfs de oppervlaktefunctie A(t) zelf niet te achterhalen, wegens de tweede hoofdstelling van de integraalrekening voldoet eender welke functie F(t) waarvoor F'(t) = f(t). Zo'n functie F noemt men een primitieve functie van f.

    In het tweede hoofdstuk zien we toepassingen van bepaalde integralen: oppervlakte tussen grafieken van functies, gemiddelde functiewaarde over een interval, toepassingen in fysica en inhoud van omwentelingslichamen. Optioneel is de booglengte van de grafiek van een functie en de manteloppervlakte en inhoud van een omwentelingslichaam. De formules die we hiervoor nodig hebben worden intuÔtief aangetoond.

    Onbepaalde integralen komen aan bod in Hoofdstuk 3, waar we de integratietechnieken substitutie en partiŽle integratie aanleren.

    De volgende onderdelen zijn facultatief: integreren van enkele rationale, irrationale en goniometrische functies, recursieformules en oneigenlijke integralen: het geven van een zinvolle betekenis aan het integraalbegrip waarbij de integratiegrenzen oneindig zijn, en/of waarbij de te integreren functie in een eindig aantal punten niet bestaat. Bijlage A handelt over een formele opbouw van het begrip Riemann-integraal, en is eveneens optioneel.

    Download PDF op deze pagina

    Copyright © 2019 K. De Naeghel