A passion for math and math education

.
Koen De Naeghel

Deel VI Limieten, asymptoten en continuÔteit

  • Cursustekst (79 pagina's). In Deel Precalculus 1 en 2 kwamen limieten van functies al zijdelings aan bod. In het eerste hoofdstuk bespreken we een intuïtieve definitie van limiet, voorzien van een interpretatie die formeel kan worden gemaakt. Fundamentele limieten kunnen meteen uit de grafieken worden afgelezen, en samen met de rekenregels voor limieten van functies levert dit een praktische werkwijze om limieten te berekenen. Goniometrische limieten wordt als toepassing behandeld, alsook de link tussen limieten en meetkundige problemen.

    In het tweede hoofdstuk komen asymptoten aan bod. Waar ze in Deel Precalculus 1 en 2 al besproken werden voor rationale functies, laat het limietbegrip nu toe om asymptoten in hun brede betekenis te behandelen. Ook hier ligt de klemtoon op de praktische werkwijze.

    In het derde en laatste hoofdstuk wordt continuïteit ingevoerd, opnieuw aan de hand van een intuïtieve definitie, voorzien van een interpretatie die formeel kan worden gemaakt. Het voordeel hiervan is dat de continuïteit van een gegeven grafiek van een functie meteen aan de hand van deze definitie kan worden beslecht. Uiteraard mogen twee fundamentele stellingen hieromtrent niet ontbreken: de tussenwaardestelling van Bolzano en de extremumstelling van Weierstrass. We sluiten het hoofdstuk af met enkele gevolgen van de tussenwaardestelling van Bolzano: de wortelstelling, het feit dat elke veelterm met oneven graad minstens ťťn reŽle nulwaarde heeft en de fixpuntstelling van Brouwer (eendimensionaal geval). Als toepassing illustreren we deze resultaten aan de hand van fysische problemen, waarvan de uitkomst als verrassend kan worden ervaren.

    In Bijlage B bewijzen we de twee fundamentele stellingen die in het hoofdstuk continuïteit worden vermeld: de tussenwaardestelling van Bolzano en de extremumstelling van Weierstrass. Om deze resultaten rigoureus aan te tonen, moet men gebruik maken van eigenschappen die raken aan de grondslagen van de reŽle analyse. Ons bewijs maakt gebruik van een fundamenteel kenmerk van de reŽle getallen (zonder bewijs) dat ook al in Deel Rijen aan bod kwam: elke reŽle rij die stijgend en naar boven begrensd is, convergeert naar een reŽel getal. Dit maakt het overbodig om het supremumprincipe te vernoemen/behandelen, daar we tussen de regels door aantonen dat het supremumprincipe in feite equivalent is met het voorgenoemd fundamenteel kenmerk van de reŽle getallen. Op die manier is ook Bijlage B haalbaar voor (gevorderde) leerlingen van het middelbaar onderwijs.

    Het vervolg van de calculus wordt verder gezet in Deel Afgeleiden en Deel Integralen, waar de zogenaamde differentiaal- en integraalrekening wordt uitgewerkt.

    Download PDF op deze pagina